RELAZIONE TRA UTILITA' MARGINALE E SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE

QUAL E' LA RELAZIONE ESISTENTE TRA UTILITA' MARGINALE E SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE

PREMESSA

Cercheremo, nelle prossime righe, di comprendere quale relazione esiste tra l'utilità marginale di due beni e il loro saggio marginale di sostituzione.

Prima di addentrarci nell'argomento ricordiamo cosa sono entrambi.

UTILITA' MARGINALE

L'utilità marginale di un bene è l'incremento che l'utilità totale del bene subisce per effetto del consumo di una ulteriore dose di esso.

SIMBOLI

Indichiamo:

  • l'utilità marginale del bene x con il simbolo UMgx;
  • l'utilità marginale del bene y con il simbolo UMgy;
  • l'utilità totale ricavata dal consumatore dai beni x ed y con U(x,y) per indicare che tale utilità è una funzione di x e di y;
  • la variazione dell'utilità totale con ΔU(x,y)
  • il saggio marginale di sostituzione con SMSx,y.

SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE

Il saggio marginale di sostituzione è la quantità del bene y che il consumatore è disposto a sacrificare per avere in cambio una unità aggiuntiva del bene x.

In simboli esso si esprime nel modo seguente:

SMSx,y =-Δy/Δx

RELAZIONE TRA UTILITA' MARGINALE E SMS

Se consumiamo una unità in più del bene x, la crescita dell'utilità totale è rappresentata dall'utilità marginale di x.

Se il consumo del bene x cresce di due unità, la crescita dell'utilità totale sarà pari all'utilità marginale del bene x per 2.

E così via.

Generalizzando possiamo dire che se varia la quantità del bene x consumata, nella misura di Δx, l'utilità totale varia nella seguente misura:

ΔU = UMgx · Δx


La stessa cosa accade con un eventuale secondo bene che chiamiamo y:

ΔU = UMgy · Δy


Ora ipotizziamo di avere due panieri A e B entrambi formati dai beni x ed y, tali che:

  • il paniere A contiene il bene x nella misura xa e il bene y nella misura ya;
  • il paniere B contiene il bene x nella misura xb e il bene y nella misura yb;

Inoltre ipotizziamo che entrambi i panieri si trovino sulla medesima curva di indifferenza, il che significa che da entrambi i panieri, il consumatore trae la medesima utilità totale.

Curve di indifferenza


Nel momento in cui il consumatore si sposta lungo la curva di indifferenza, dal punto A al punto B, la variazione subita dall'utilità totale sarà pari alla somma delle variazioni subite dall'utilità per effetto della variazione del bene x e del bene y. In altre parole si avrà:

ΔU(x,y) = UMgx · Δx + UMgy · Δy


ma poiché A e B si trovano lungo la stessa curva di indifferenza e, quindi, l'utilità totale non subisce variazioni passando da un paniere all'altro, possiamo dire con certezza che la variazione dell'utilità totale è pari a zero, ovvero:

ΔU(x,y) = UMgx · Δx + UMgy · Δy = 0


Da qui, portiamo a secondo membro il primo addendo, cambiando di segno, e avremo:

UMgy · Δy = - UMgx · Δx


Dividiamo entrambi i membri per UMgy:

Relazione tra utilità marginale e saggio marginale di sostituzione


Dividiamo entrambi i membri per Δx

Relazione tra utilità marginale e saggio marginale di sostituzione


Da cui ricaviamo:

Relazione tra utilità marginale e saggio marginale di sostituzione


Ma come sappiamo il rapporto tra -Δy/ Δx non è altro che il saggio marginale di sostituzione:

Relazione tra utilità marginale e saggio marginale di sostituzione

Quindi:

Relazione tra utilità marginale e saggio marginale di sostituzione



Quindi possiamo affermare che il saggio marginale di sostituzione non è altro che il rapporto tra le utilità marginali dei due beni.

 
 
 

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