PANIERE DI EQUILIBRIO
COME TROVARE IL PANIERE DI EQUILIBRIO NEL CASO DI SOLUZIONI INTERNE
SOLUZIONI INTERNE
Parlando del paniere di equilibrio si è detto che, nel caso di soluzioni interne, esso si trova contemporaneamente sulla retta di bilancio e sulla curva di indifferenza più alta tra quelle possibili.
Graficamente, il nostro paniere di equilibrio è individuato dal punto A:
ANALISI MATEMATICA
Dal punto di vista matematico il punto A è il punto di tangenza della retta di bilancio e di una delle curve di indifferenza.
Il punto di tangenza rappresenta il punto in cui la retta di bilancio e la curva di indifferenza hanno la stessa pendenza.
Ora noi sappiamo che la pendenza della retta di bilancio è data dal suo coefficiente angolare che è uguale a -px/ py.
La pendenza della curva di indifferenza è data dal saggio marginale di sostituzione (SMS) che è uguale a -Δy/ Δx.
Il paniere di equilibrio, dunque, è quello che soddisfa la seguente condizione:
-px/ py = -Δy/ Δx.
ovvero:
px/ py = Δy/ Δx.
Ogni qual volta il SMS non è uguale al rapporto tra i prezzi dei due beni, il consumatore non è in equilibrio.
MANCANZA DI EQUILIBRIO
Cerchiamo di comprendere perché il paniere di equilibrio è quello che uguaglia il saggio marginale di sostituzione con il rapporto tra i prezzi dei due beni.
Partiamo dal dire che:
- il SMS non è altro che il rapporto al quale il consumatore è disposto a scambiare 1 unità di x con y. Esempio: SMS = 2. Il consumatore è disposto a cedere una unità di x per avere 2 unità di y;
- il rapporto tra i prezzi è il rapporto al quale il consumatore può effettivamente scambiare, sul mercato, una unità di x con y. Esempio: px/ py = 2. Il consumatore può scambiare una unità del bene x pagando lo stesso prezzo che pagherebbe per avere 2 unità di y.
Quando i due valori sono uguali, ciò che desidera il consumatore corrisponde esattamente a ciò che egli può avere sul mercato.
Invece:
- se SMS > px/ py
significa che il consumatore attribuisce, ad una unità del bene x, un valore maggiore rispetto al suo prezzo di mercato. Egli allora, avrà convenienza a comprare il bene x cedendo il bene y. Quindi non si trova in una situazione di equilibrio e continuerà a comprare x e cedere y fino a che non raggiungerà l'equilibrio;
- se SMS < px/ py
significa che il consumatore attribuisce, ad una unità del bene x, un valore inferiore rispetto al suo prezzo di mercato. Egli allora, avrà convenienza a cedere il bene x e comprare il bene y. Quindi, anche in questo caso, non si trova in una situazione di equilibrio e continuerà a comprare y e cedere x fino a che non raggiungerà l'equilibrio.
Quindi, quando il SMS è diverso dal rapporto tra i prezzi dei due beni, il consumatore non sta massimizzando la sua utilità, mentre quando i due valori sono uguali, il consumatore a modificare la propria spesa.
CONSUMATORI DIVERSI
E' importante notare che le preferenze dei consumatori non sono le stesse. Di conseguenza, anche i SMS saranno diversi e quindi anche i panieri di equilibrio.
TROVARE IL PANIERE DI EQUILIBRIO
Vediamo ora, concretamente, come possiamo trovare il paniere di equilibrio.
Partiamo da una considerazione: abbiamo detto che la pendenza della curva di indifferenza deve essere la stessa della pendenza della retta di bilancio. Va detto, però, che ci sono tante rette che possono avere la stessa pendenza della retta di bilancio, infatti:
Tutte le rette che abbiamo disegnato sopra, sono parallele alla retta di bilancio e, di conseguenza, hanno la stessa pendenza, ma non tutte rappresentano il vincolo di bilancio (che abbiamo disegnato in azzurro).
Quindi noi dobbiamo andare a cercare quel paniere che soddisfa la condizione
px/ py = Δy/ Δx sulla retta di bilancio.
SOLUZIONE MATEMATICA
Per trovare il paniere di equilibrio occorrerà risolvere un sistema di due equazioni:
- l'equazione della retta di bilancio;
- la condizione di equilibrio.
Ma poiché il SMS non è altro che UMgx/ UMgx, il sistema può essere scritto nel modo seguente:
ESEMPIO
Si ipotizzi un consumatore il cui reddito sia 90. I prezzi del bene x e del bene y sono rispettivamente 6 euro e 2 euro.
L'utilità marginale del bene x è pari 9xy3, mentre l'utilità marginale del bene y è pari a 3x2y2.
Stabilire qual'è il paniere scelto dal consumatore.
Iniziamo con lo scrivere la retta di bilancio. Essa è pari a
x · px + y · py = R
Sostituiamo i dati a nostra disposizione e avremo:
px = 6
py = 2
R = 90
6x + 2y = 90
L'altra equazione da mettere a sistema sarà:
9xy3/ 3x2y2 = 6/2
da cui semplificando si ottiene:
6y/ 3x = 3
Risolviamo il sistema:
Il paniere di equilibrio è formato da 10 unità del bene x e da 15 unità del bene y.
